Question

11．等比数列{a_n}满足a₃a₄a₅=512，a₃+a₄+a₅=28，公比为大于1的数．
（1）求{a_n}通项公式；     
（2）设b_n=2n-1，求{a_n+b_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由${a_3}{a_4}{a_5}=a_4^3=512$可得a₄=8，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{a_3}=4\\{a_5}=16\end{array}\right.，q=2，{a_1}=1，{a_n}={2^{n-1}}$；
（2）化简${a_n}+{b_n}={2^{n-1}}+2n-1$，从而求前n项和${S_n}=（{{2^0}+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}}）+（{1+3+5+…+2n-1}）=（{{2^n}-1}）+{n^2}$．

解答 解：（1）∵${a_3}{a_4}{a_5}=a_4^3=512$，
∴a₄=8，
∴a₃a₅=64，a₃+a₅=20；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_3}=16\\{a_5}=4\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{a_3}=4\\{a_5}=16\end{array}\right.$，
又∵q＞1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_3}=4\\{a_5}=16\end{array}\right.，q=2，{a_1}=1，{a_n}={2^{n-1}}$；
（2）∵${a_n}+{b_n}={2^{n-1}}+2n-1$，
∴${S_n}=（{{2^0}+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}}）+（{1+3+5+…+2n-1}）=（{{2^n}-1}）+{n^2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式的求法及等比数列与等差数列的前n项和的公式应用，属于基础题．