Question

已知函数f(x)＝x³－ax²－3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．

Answer 1

（1）a≤0
（2）f(x)的单调递增区间为，[3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为.

解：(1)对f(x)求导，
得f′(x)＝3x²－2ax－3.
由f′(x)≥0，得a≤.
记t(x)＝，当x≥1时，t(x)是增函数，
∴t(x)_min＝ (1－1)＝0.∴a≤0.
(2)由题意，得f′(3)＝0，
即27－6a－3＝0，
∴a＝4.∴f(x)＝x³－4x²－3x，
f′(x)＝3x²－8x－3.
令f′(x)＝0，得x₁＝－，x₂＝3.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x		－		3	(3，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

 
∴f(x)的单调递增区间为，[3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为.