Question

6．已知f（x）=-sin²x+asinx+bcosx是偶函数，且f（π）=-1
（1）求f（x）；
（2）已知θ∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanθ=$\sqrt{2}$，若对任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，不等式a≤f（2x+θ）+m≤4b恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）是偶函数，asinx=0，得a=0，且f（π）=-1，可得b=1．可得f（x）解析式．
（2）根据θ∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanθ=$\sqrt{2}$，对任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，不等式a≤f（2x+θ）+m≤4b恒成立，求解f（2x+θ）的最大值和最小值可得答案．

解答 解：（1）f（x）=-sin²x+asinx+bcosx，
∵f（x）是偶函数
∴asinx=0，即a=0．
f（π）=-1，即-sin²π+bcosπ=-1
∴b=1
∴f（x）=-sin²x+cosx，
（2）由（1）可知f（2x+θ）=-sin²（2x+θ）+cos（2x+θ），
化解可得：f（2x+θ）=[cos（2x+θ）$+\frac{1}{2}$]²-$\frac{5}{4}$
x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanθ=$\sqrt{2}$，
∴2x+θ∈[-π+θ，θ]，
当2x+θ=0时，cos（2x+θ）的最大值为1．
2x+θ=-π+θ时，cos（2x+θ）=-cosθ=$-\frac{1}{3}$是最小值．
∴cos（2x+θ）∈[$-\frac{1}{3}$，1]
∴f（2x+θ）∈[$-\frac{11}{9}$，1]
要使不等式a≤f（2x+θ）+m≤4b恒成立，等价于0≤f（2x+θ）+m≤4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{11}{9}+m≥0}\\{1+m≤4}\end{array}\right.$，解得：$\frac{11}{9}≤m≤3$
故得m的取值范围是：$[\frac{11}{9}，3]$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题