Question

20．以坐标原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，长轴长为$2\sqrt{2}$，短轴长为2，过它的左焦点F₁作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l交椭圆于A，B两点，求AB的长．

Answer 1

分析 a=$\sqrt{2}$，b=1，可得c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，可得椭圆方程，可得过它的左焦点F₁作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l方程，联立可得关于x的一元二次方程．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：∵a=$\sqrt{2}$，b=1，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1．
又∵焦点在x轴上，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
左焦点F₁（-1，0），
∴过它的左焦点F₁作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l方程为$y=\sqrt{3}（x+1）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为7x²+12x+4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$x{\;}_1+{x_2}=-\frac{12}{7}$，$x{\;}_1{x_2}=\frac{4}{7}$，$k=\sqrt{3}$，
从而$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{x{\;}_1-{x_2}}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（x{\;}_1+{x_2}）}^2}-4x{\;}_1{x_2}]}=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．