Question

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A₁，点B在l的射影为B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=

2

，求：
（Ⅰ）直线AB分别与平面α，β所成角的大小；
（Ⅱ）二面角A₁-AB-B₁的大小．

Answer 1

分析：（I）因为α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A₁，点B在l的射利用直线与平面所成角的定义找到该斜线在平面内的射影即可以求解影为B₁，利用直线与平面所成角的定义找到该斜线在平面内的射影即可以求解；
（II）因为BB₁⊥α，利用线面垂直的判定定理可以得到平面ABB₁⊥α，再利用三垂线定理根据二面角的定义求出二面角的平面角的平面角，在放到三角形中解出即可．

解答：解：（Ⅰ）如图，连接A₁B，AB₁，∵α⊥β，α∩β=l，AA₁⊥l，BB₁⊥l，
∴AA₁⊥β，BB₁⊥α．则∠BAB₁，∠ABA₁分别是AB与α和β所成的角．
Rt△BB₁A中，BB₁=

2

，AB=2，
∴sin∠BAB₁=

BB1

AB

=

2

2

．
∴∠BAB₁=45°．
Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2，sin∠ABA₁=

AA1

AB

=

1

2

，
∴∠ABA₁=30°．
故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．
（Ⅱ）∵BB₁⊥α，∴平面ABB₁⊥α．
在平面α内过A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，则A₁E⊥平面AB₁B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A₁F⊥AB，
∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，
∴AB₁=B₁B=

2

．
∴Rt△AA₁B中，A₁B=

AB2-A A 2 1

=

4-1

=

3

．
由AA₁•A₁B=A₁F•AB得A₁F=

AA1•A1B

AB

=

1× 3

2

=

3

2

，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A₁FE=

A1E

A1F

=

6

3

，
∴二面角A₁-AB-B₁的大小为arcsin

6

3

．

点评：（1）此问重点考查了学生的空间想象能力，还考查了学生对于面面垂直的性质及线面角的概念的准确理解和灵活运用；
（2）此问重点考查了二面角的概念及利用三垂线定理求解二面角，还考查了求角时的反三角的表示方法．