Question

16．已知四棱锥A-BCDE的底面是边长为4的正方形，面ABC⊥底面BCDE，且AB=AC=4，则四棱锥A-BCDE外接球的表面积为$\frac{112π}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，连接CE，BD，相交于点O₁，过点O₁作OO₁⊥平面BCDE．设等边三角形ABC的中心为O₂点，过O₂点作OO₂⊥平面ABC，点O为OO₂与OO₁的交点，则点O为四棱锥A-BCDE外接球的球心．利用正方形与等边三角形的有关知识即可得出四棱锥A-BCDE外接球的半径R，再利用球的表面积计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
连接CE，BD，相交于点O₁，过点O₁作OO₁⊥平面BCDE．
设等边三角形ABC的中心为O₂点，过O₂点作OO₂⊥平面ABC，点O为OO₂与OO₁的交点，
则点O为四棱锥A-BCDE外接球的球心．
∵底面是边长为4的正方形，∴O₁E=2$\sqrt{2}$．
由△ABC是边长为4的等边三角形，可得OO₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴四棱锥A-BCDE外接球的半径R=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{28}{3}}$．
∴四棱锥A-BCDE外接球的表面积=4πR²=$\frac{112π}{3}$．
故答案为：$\frac{112π}{3}$．

点评 本题考查了线面由于面面垂直的性质、正方形与等边三角形的性质、勾股定理、球的表面积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．