Question

某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与投资单位：万元）．

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

Answer 1

分析：（1）根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．
（2）将企业获利表示成对产品B投资x的函数；将函数中的

x

换元为t，将函数转化为二次函数，求出对称轴，求出函数的最值．

解答：解：（1）设投资为x万元，
A、B两产品获得的利润分别为f（x）、g（x）万元，
由题意，f(x)=k1x，g(x)=k2

x

，(k1，k2≠0；x≥0)（3分）
又由图知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；
解得k1=

1

4

，k2=

5

4

∴f(x)=

1

4

x(x≥0)；g(x)=

5

4

x

(x≥0)（8分）
（2）设对B产品投资x万元，则对A产品投资（10-x）万元，
记企业获取的利润为y万元，
则y=

1

4

(10-x)+

5

4

x

(x≥0)（10分）
设

x

=t，则x=t²，(0≤t≤

10

)
∴y=-

1

4

(t-

5

2

)2+

65

16

当t=

5

2

也即x=

25

4

时，y取最大值

65

16

（14分）
答：对B产品投资

25

4

万元，对A产品投资

15

4

万元时，
可获最大利润

65

16

万元．

点评：本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用待定系数法求函数的解析式、考查换元法注意新变量的范围、二次函数的最值与对称轴有关．