Question

已知函数，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数对任意满足，求证：当时，；
（Ⅲ）若，且，求证：

Answer 1

（Ⅰ）在内是增函数，在内是减函数.当时，取得极大值=.
（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

试题分析：（Ⅰ）求出导函数=，然后令=0，解得.画出，，随着 变化而变化的表格，即可得出的单调区间和极值；（Ⅱ）先求出，然后令，求出，求出当时，即可得证；（Ⅲ）由得，不可能在同一单调区间内，则根据（Ⅰ）的结论，设，根据（Ⅱ）可知，而，故，即得证.
试题解析：（Ⅰ）∵=，∴=.
令=0，解得.

		2
	＋	0	－
	↗	极大值	↘

∴在内是增函数，在内是减函数.
∴当时，取得极大值=.
（Ⅱ）证明：，,
∴=.
当时，＜0，＞4，从而＜0，
∴＞0，在是增函数.

（Ⅲ）证明：∵在内是增函数，在内是减函数.
∴当，且，，不可能在同一单调区间内.
不妨设，由（Ⅱ）可知，
又，∴.
∵，∴.
∵，且在区间内为增函数，
∴，即