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设数列满足为实数

(Ⅰ)证明:对任意成立的充分必要条件是

(Ⅱ)设,证明:;

(Ⅲ)设,证明:

(Ⅰ)必要性 : ,

                 又  ,即

充分性 :设  ,对用数学归纳法证明

        当时,.假设

        则,且

,由数学归纳法知对所有成立

    (Ⅱ) 设 ,当时,,结论成立

         当 时,

         

          ,由(1)知,所以  且   

         

         

         

(Ⅲ)设 ,当时,,结论成立

 当时,由(2)知

 


解析:

(Ⅰ)必要性 : ,

                 又  ,即

充分性 :设  ,对用数学归纳法证明

        当时,.假设

        则,且

,由数学归纳法知对所有成立

    (Ⅱ) 设 ,当时,,结论成立

         当 时,

         

          ,由(1)知,所以  且   

         

         

         

(Ⅲ)设 ,当时,,结论成立

 当时,由(2)知

 

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