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定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(x+1)=
2
f(x)
(f(x)≠0),且在区间(2013,2014)上单调递增,已知α,β是锐角三角形的两个内角,则f(sinα)、f(cosβ)的大小关系是(  )
A、f(sinα)<f(cosβ)
B、f(sinα)>f(cosβ)
C、f(sinα)=f(cosβ)
D、以上情况均有可能
分析:首先根据条件f(x+1)=
2
f(x)
,求出函数的最小正周期2,再由函数f(x)在区间(2013,2014)上单调递增得到函数f(x)在(-1,0)上的单调性,再由f(-x)=f(x)得到函数f(x)在(0,1)上的单调性,根据α,β是锐角三角形的两个内角,得到α+β>
π
2
α>
π
2
,根据正弦函数的单调性和诱导公式得到sinα>cosβ,再由f(x)在(0,1)的单调性,即可判断f(sinα)、f(cosβ)的大小关系.
解答:解:∵定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=
2
f(x)
(f(x)≠0),
∴f(x+1)•f(x)=2,f(x+2)•f(x+1)=2,即f(x+2)=f(x),
∴函数f(x)是最小正周期为2的函数,
∵函数f(x)在区间(2013,2014)上单调递增,
∴函数f(x)在区间(-1,0)上也是单调递增,
∵定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),
∴函数f(x)在区间(0,1)上是单调递减,
∵α,β是锐角三角形的两个内角,
∴α+β>
π
2
,即α>
π
2

由正弦函数的单调性得sinα>sin(
π
2
-β)

再由三角函数的诱导公式得sinα>cosβ,
∵sinα,cosβ∈(0,1),
∴由f(x)在(0,1)上递减得f(sinα)<f(cosβ),
故选:A.
点评:本题主要考查函数的周期性、单调性及应用,以及三角函数的单调性和诱导公式的运用,灵活运用定义和公式,是解决问题的关键.
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定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,
π
2
]时,f(x)=sinx,则f(
3
)的值为
 

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20、已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,函数f(x)在x=-1处取极值.
(1)求f(x)的解析式;
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1-f(x)1+f(x)
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π
2
),最大值与最小值的差为4,相邻两个最低点之间距离为π,函数y=sin(2x+
π
3
)图象所有对称中心都在f(x)图象的对称轴上.
(1)求f(x)的表达式;    
(2)若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
π
2
]),求cos(x0-
π
3
)的值.

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已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x 0 1 2 3
f(x) 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数f(x)一定存在零点的区间是(  )

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