Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=

3

，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，将PB平移到OE，根据异面直线所成角的定义可知∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角，在△AOE中，利用余弦定理求出此角的余弦值即可；
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，连PF，设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF，根据线面垂直的判定定理可知DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC，则N点到AB的距离即为

1

2

AP，N点到AP的距离即为

1

2

AF．

解答：解：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE∥PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角．
在△AOE中，AO=1，OE=

1

2

PB=

7

2

，AE=

1

2

PD=

5

2

，
∴cosEOA=

1+ 7 4 - 5 4

2× 7 2 ×1

=

3 7

14

．
即AC与PB所成角的余弦值为

3 7

14

．
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则∠ADF=

π

6

．
连PF，则在Rt△ADF中DF=

AD

cosADF

=

2 3

3

，AF=ADtanADF=

3

3

．
设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC．从而NE⊥面PAC．
∴N点到AB的距离=

1

2

AP=1，N点到AP的距离=

1

2

AF=

3

6

．

点评：本题主要考查了异面直线的所成角，以及点到线的距离的计算，同时考查了空间想象能力、计算能力和推理能力，属于中档题．