【题目】已知椭圆
的右准线方程为
,又离心率为
,椭圆的左顶点为
,上顶点为
,点
为椭圆上异于
任意一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与
轴交于点
,直线
与
轴交于点
,求证:
为定值.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】试题分析:(1)利用椭圆的准线方程和离心率即可求解;(2)设出点的坐标,写出的直线
方程,求出点
的坐标,利用两点间的距离公式和点
在椭圆上进行化简求解.
试题解析:(1)∵椭圆的右准线方程为 ∴
∵离心率为
∴
∴ ∴
∴椭圆的方程为:
;
(2)方法(一)设点 ,则
,
,即
.
当时,
,则
,
∴
∵点异于点
∴
当且
时,设直线
方程为:
,它与
轴交于点
直线方程为:
,它与
轴交于点
∴,
∴
为定值.
方法(二)若直线斜率不存在,则直线
方程为:
,此时
,则
,
∴
若直线斜率存在,设直线
方程为:
,且
∴且
则联立方程: 得:
,解得:
或
,
即点 ∵点
异于点
∴
∴
∴直线的方程为:
,
则且
∴为定值.
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【题目】抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点,顶点为C,点P在抛物线上,且位于x轴下方.
(1)如下图,若P(1,-3)、B(4,0),① 求该抛物线的解析式;② 若D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标;
(2) 如下图,在图中的抛物线解析式不变的条件下,已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点.当点P运动时,OE+OF是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】自平面上一点O引两条射线OA,OB,P在OA上运动,Q在OB上运动且保持| |为定值2
(P,Q不与O重合).已知∠AOB=120°,
(I)PQ的中点M的轨迹是的一部分(不需写具体方程);
(II)N是线段PQ上任﹣点,若|OM|=1,则
的取值范围是 .
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【题目】[2019·朝鲜中学]在如图所示的程序框图中,有这样一个执行框,其中的函数关系式为
,程序框图中的
为函数
的定义域.
(1)若输入,请写出输出的所有
的值;
(2)若输出的所有都相等,试求输入的初始值
.
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【题目】为了让学生更多地了解“数学史”知识,某班级举办一次“追寻先哲的足迹,倾听数学的声音的数学史知识竞赛活动.现将初赛答卷成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表:
序号 | 分数段 | 人数 | 频率 |
1 | 10 | 0.20 | |
2 | ① | 0.44 | |
3 | ② | ③ | |
4 | 4 | 0.08 | |
合计 | 50 | 1 |
(1)填充上述表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案);
(2)若利用组中值近似计算数据的平均数,求此次数学史初赛的平均成绩;
(3)甲同学的初赛成绩在,学校为了宣传班级的学习经验,随机抽取分数在
的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍,求甲同学被抽取到的概率.
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【题目】已知函数定义域为
,若对于任意的
,都有
,且
时,有
.
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)判断并证明函数的单调性;
(3)设,若
,对所有
,
恒成立,求实数
的取值范围.
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