Question

已知数列{a_n}的前n项的和S_n满足：S_n=

a

a-1

(an-1)（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2Sn

an

+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）因为S_n=

a

a-1

(an-1)（a为常数，且a≠0，a≠1），由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出a_n．
（2）由a_n=aⁿ知，b_n=

(3a-1)an-2a

an(a-1)

，若{b_n}为等比数列，则有

b

2 2

=b₁b₃，由等比数列的性质能够求出a的值．

解答：解：（1）因为S₁=

a

a-1

(a1-1)，所以a₁=a．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

a

a-1

an-

a

a-1

an-1，
所以

an

an-1

=a，即{a_n}是等比数列．
所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．
（2）由（1）知，b_n=

2• a a-1 (an-1)

an

+1=

(3a-1)an-2a

an(a-1)

，
若{b_n}为等比数列，
则有

b

2 2

=b₁b₃，而b₁=3，b₂=

3a+2

a

，b₃=

3a2+2a+2

a2

，
故(

3a+2

a

)2=3•

3a2+2a+2

a2

，
解得a=

1

3

，再将a=

1

3

代入，
得b_n=3ⁿ成立，
所以a=

1

3

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质和应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．