Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．
（1）证明：AB₁⊥BC₁；
（2）求点B到平面AB₁C₁的距离；
（3）求二面角C₁-AB₁-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）以C点为坐标原点，CA，CB，CC₁为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出AB₁与BC₁的方向向量，代入数量积公式，得到其数量积为0，即可得到AB₁⊥BC₁；
（2）求出平面AB₁C₁的一个法向量，则AB的方向向量，代入到公式d=

| AB • n1 |

| n1 |

，即可求出
点B到平面AB₁C₁的距离；
（3）结合（2）的结合，再求出平面AB₁A₁的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C₁-AB₁-A₁的大小．

解答：证明：（1）如图建立直角坐标系，其为C为坐标原点，
题意A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2）．
∵

AB1

•

BC1

=(-2，2，2)•(0，-2，2)=0，∴

AB1

⊥

BC1

∴AB₁⊥BC₁
解：（2）设

n1

=(x1，y1，z1)是平面AB1C1的一个法向量，
由

n1

•

AB1

=0，

n1

•

AC1

=0得

-x1+y1+z1=0 -x1+z1=0

所以

y1=0 x1=z1.

令z1=1，

n1

=(1，0，1)
∵

AB

=(-2，2，0)，∴点B到平面AB₁C₁的距离d=

| AB • n1 |

| n1 |

=

2

．
（3）解设

n2

=(x2，y2，z2)是平面A₁AB₁的一个法向量
由

n2

•

AB

=0，

n2

•

AA1

=0，得

-x2+y2=0 z2=0.

∴

x2=y2 z2=0.

令y2=1，则

n2

=(1，1，0)
∵cos＜

n1

•

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

2

，
∴二面角C₁-AB-A₁的大小为60°．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到面的距离，异面直线的夹角，其中建立适当的空间坐标系，将问题转化为向量夹角及向量长度问题是解答本题的关键．