Question

已知F₁、F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F₂与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F₁F₂为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A、（1，

  2

  ）
• B、（

  3

  ，+∞）
• C、（

  3

  ，2）
• D、（2，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F₂的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F₁F₂为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x，
不妨设过点F₂与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=

b

a

（x-c），
与y=-

b

a

x联立，可得交点M（

c

2

，-

bc

2a

），
∵点M在以线段F₁F₂为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF₂|，即有

c2

4

+

b2c2

4a2

＞c²，
∴b²＞3a²，
∴c²-a²＞3a²，即c＞2a．
则e=

c

a

＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．
故选：D．

点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．