Question

10．已知$\overrightarrow{a}$=（m-1，1），$\overrightarrow{b}$=（-n-1，2），其中m＞0，n＞0，若存在实数λ使$\overrightarrow{b}=λ\overrightarrow{a}$，则$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 由题意和向量平行可得正数mn满足2m+n=1，整体代入可得$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（m-1，1），$\overrightarrow{b}$=（-n-1，2），其中m＞0，n＞0，若存在实数λ使$\overrightarrow{b}=λ\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{a}$，∴2（m-1）=-n-1，即正数mn满足2m+n=1，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥4+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=8，
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$即n=2m时取等号，结合2m+n=1可得m=$\frac{1}{4}$且n=$\frac{1}{2}$时取等号．
故选：D．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及平面向量的应用和整体代入的思想，属基础题．