Question

【题目】已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B1B=AB=2BC=4，D、E分别是B1C1 ， A1A的中点．
（1）求证：A1D∥平面B1CE；
（2）设M是的中点，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的动点，直线NP与平面MNC所成角为θ，试问：θ的正弦值存在最大值吗？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：证法一（几何法）：

连结BC1，与B1C交于点O，连结EO，DO，

在△B1BC1中，DO B1B，

在四边形B1BA1A中，A1E B1B，

∴A1E DO，∴四边形A1EOD是平行四边形，∴A1D∥EO

∵A1D平面B1CE，EO平面B1CE，

∴A1D∥平面B1CE．

证法二（向量法）：

如图，建立空间直角坐标系B﹣xyz，

由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，4），C1（0，2，4），D（0，1，4），E（4，0，2），

则 =（﹣4，1，0）， =（0，2，﹣4）， =（4，0，﹣2），

设平面B1CE的一个法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，4，2），

∵ =﹣4+4=0，且A1D平面B1CE，

∴A1D∥平面B1CE．

（2）解：设存在符合题意的点P．

如图，建立空间直角坐标系B﹣xyz，

由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），M（2，0，3），N（1，0，0），

则 =（﹣1，0，﹣3）， =（﹣1，2，0）， =（﹣4，2，0），

设平面MNC的一个法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=6，得 =（6，3，﹣2），

设 = ，（0≤λ≤1），则 = =（3﹣4λ，2λ，0），

由题设得sinθ=|cos＜ ＞|= = = ，

设t=1﹣λ（0≤λ≤1），则λ=1﹣t，且0≤t≤1，

∴sinθ= ，

当t=0时，sinθ=0，

当0＜t≤1时，sinθ= = ≤ = ．

∴当且仅当 ，即t= 时，sinθ取得最大值 ，此时λ= ．

∴存在符合题意的点P，且 = ．

【解析】（1）法一（几何法）：连结BC1 ， 与B1C交于点O，连结EO，DO，推导出四边形A1EOD是平行四边形，从而A1D∥EO，由此能证明A1D∥平面B1CE． 法二（向量法）：建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能证明A1D∥平面B1CE．（2）建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法求出存在符合题意的点P，且 = ．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．