【题目】(A)设函数,
.
(1)证明:函数在
上为增函数;
(2)若方程有且只有两个不同的实数根,求实数
的值.
(B)已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)若存在唯一实数,使得
成立,求实数
的值.
【答案】(A)(1)详见解析; (2).(B)(1)
;(2)
.
【解析】试题分析:(A)(1)计算函数的导数并因式分解,证明因式分解后每个因子都是正数,由此判断原函数在上为增函数.(2)利用导数求得函数
的单调区间,求得函数的极大值和极小值,要使
有两个不同的实数根,则需极大值等于
,由此列方程可求得
的值.(B)(1)利用导数求得函数
的单调区间和极值,比较两个极值点的函数值,由此判断出
是函数的最小值.(2)注意到方程
的判别式大于零,有两个不同的实数根,若存在唯一实数
,使得
成立,由(1)得
,即
,解得
.
试题解析:
(A)证明:(1)的定义域为
,
,
当时,由
,
,得
,所以
,则有函数
在
上为增函数.
(2)令,得
或
.
列表如下:
0 | |||||
正 | 0 | 负 | 0 | 正 | |
增函数 | 极大值 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
则当时,函数有极大值
,
当时,函数有极小值
,
又时,
,
时,
,
时,
,
因为方程,即
有且只有两个不同的实数根,
所以,解得
(负根舍去).
(B)(1)的定义域为
,
,
令,得
或
,
列表如下:
1 | |||||
正 | 0 | 负 | 0 | 正 | |
增函数 | 极大值 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
则函数在
,
上为增函数,在
上为减函数;
当时,
,所以当
时,
,又
,
所以时,函数
有最小值
.
(2)对于,有
,则函数
有两个不同的零点,
若存在唯一实数,使得
成立,由(1)得
,即
,解得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆E: 的离心率为
,过左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点,且|AB|=1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P、Q是椭圆E上两点,P在第一象限,Q在第二象限,且OP⊥OQ,其中O是坐标原点.
当P、Q运动时,是否存在定圆O,使得直线PQ都与定圆O相切?若存在,请求出圆O的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】解下列关于x的不等式.
(1) 4x--7·2x-2-1>0;
(2) loga(2x+1)>2loga(1-x)(其中a是正的常数,且a≠1).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,椭圆
和抛物线
交于
,
两点,且直线
恰好通过椭圆
的右焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)经过椭圆右焦点的直线
和椭圆
交于
,
两点,点
在椭圆上,且
,其中
为坐标原点,求直线
的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《中国好声音(
)》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目,于2012年7月13日在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手,当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身,则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中,6位选手唱完后,四位导师为其转身的情况如下表所示:
导师转身人数(人) | 4 | 3 | 2 | 1 |
获得相应导师转身的选手人数(人) | 1 | 2 | 2 | 1 |
现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.
(1)求选出的两人导师为其转身的人数和为4的概率;
(2)记选出的2人导师为其转身的人数之和为,求
的分布列及数学期望
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其物理成绩(均为整数)分成六段,
…
后画出如下频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(Ⅰ)估计这次考试的众数m与中位数n(结果保留一位小数);
(Ⅱ) 估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
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