Question

一质点P由原点出发作如下运动：先向第一象限任意方向运动，运动距离为r，再沿向量（1，1）方向运动，运动距离为m，（其中0≤r≤2，0≤m≤2，r+m=2），则质点P所有可能达到的位置形成的区域面积为________．

Answer 1

分析：根据题意，可证出P所有可能达到的位置形成的区域为如图所示的扇形OAC内部，且在四边形OABC的外部．由此结合扇形面积和三角形面积公式，即可得到所求的区域的面积．
解答： 解：如图所示，扇形OAC是圆心角为直角、半径为2的扇形，
所求区域在扇形OAC内部，且在△OAB、△OBC外部．
其中A（2，0），B（，），C（0，2）
证明如下
在四边形OACB内任取一点P，假设有到达P的路线OQP，
则OQ=r，QP=m且r+m=2
将线段QP两个方向延长，分别交OA、AB于D、E两点，
注意到△FEA∽△COA是等腰三角形，
∴OA=OD+DA=OD+DE＞OD+DQ+QP＞OQ+QP=r+m
因为OA=2且r+m=2，得到2＞2 矛盾．
由此可得：四边形OABC是P点不能到达的区域．
因此，质点P所有可能达到的位置形成的区域面积为
S=（π×2²）-2×[×2×2×sin45°]=π-2
故答案为：π-2
点评：本题给出满足条件的质点P运动，求质点P所有可能达到的位置形成的区域面积．着重考查了不等式的应用、扇形面积公式和三角形面积公式等知识，属于中档题．