Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，对于任意n∈N^*，都有2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

成立，且a₂=4．
（1）求a₁，a₃的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并给出证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）直接利用已知条件，通过n=1，直接求a₁，n=2，求解a₃的值；
（2）通过数列的前3项，猜想数列{a_n}的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤证明猜想即可．

解答： 解：（1）因为2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

，a₂=4
当n=1时，由2+

1

a2

＜2(

1

a1

+

1

a2

)＜2+

1

a1

，即有2+

1

4

＜

2

a1

+

2

4

＜2+

1

a1

，
解得

2

3

＜a1＜

8

7

．因为a₁为正整数，故a₁=1．  …（2分）
当n=2时，由2+

1

a3

＜6(

1

4

+

1

a3

)＜2+

1

4

，
解得8＜a₃＜10，所以a₃=9．  …（4分）
（2）由a₁=1，a₂=4，a₃=9，猜想：an=n2…（5分）
下面用数学归纳法证明．
1°当n=1，2，3时，由（1）知an=n2均成立．…（6分）
2°假设n=k（k≥3）成立，则ak=k2，
由条件得2+

1

ak+1

＜k(k+1)(

1

k2

+

1

ak+1

)＜2+

1

k2

，
所以

k3(k+1)

k2-k+1

＜ak+1＜

k(k2+k-1)

k-1

，…（8分）
所以(k+1)2-

k+1

k2-k+1

＜ak+1＜(k+1)2+

1

k-1

    …（9分）
因为k≥3，0＜

k+1

k2-k+1

＜1，0＜

1

k-1

＜1，
又ak+1∈N*，所以ak+1=(k+1)2．
即n=k+1时，an=n2也成立．
由1°，2°知，对任意n∈N^*，an=n2．  …（10分）

点评：本题考查递推数列的应用，数学归纳法的应用，考查分析问题解决问题的能力．