Question

在△ABC中，AB=2，AC=4，线段CB的垂直平分线交AC于点D，DA-DB=1，求BC的长及cos∠ACB的值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由题意易得DA=2.5，DB=DC=1.5，进而可得∠ABD=90°，cosA=

4

5

，在△ABC中由余弦定理可得BC=

6 5

5

，进而由余弦定理可得cos∠ACB．

解答： 解：∵线段CB的垂直平分线交AC于点D，∴DB=DC，
又∵DA-DB=1，∴DA-DC=1，
又∵DA+DC=AC=4，∴DA=2.5，DB=DC=1.5，
在△DAB中，DA²=AB²+BD²，∴∠ABD=90°，
∴cosA=

2

2.5

=

4

5

，
在△ABC中由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA
=4+16-2×2×4×

4

5

=

36

5

，∴BC=

6 5

5

，
∴cos∠ACB=

BC2+AC2-AB2

2•BC•AC

=

2 5

5

点评：本题考查解三角形，涉及余弦定理和勾股定理的应用，属中档题．