Question

设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；
（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³-12x．
所以f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)．…8分
列表如下：

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

…11分
所以函数f（x）的单调增区间是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)．
因为f（-1）=10，f(

2

)=-8

2

，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f(

2

)=-8

2

．…13分．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．