Question

（1）解不等式

2x2-4x-1

x2-2x-3

≥3；
（2）a，b∈R⁺，2c＞a+b，求证c-

c2-ab

＜a＜c+

c2-ab

．

Answer 1

分析：（1）原不等式等价于

(x-4)(x+2)

(x-3)(x+1)

≤0，由穿根法求得它的解集．
（2）用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，要证不等式成立，只要证|a-c|＜

c2-ab

，只要证
a+b＜2c，而由题设知，此式成立．

解答：解：（1）原不等式等价于

-x2+2x+8

x2-2x-3

≥0，即

(x-4)(x+2)

(x-3)(x+1)

≤0，
由穿根法（并验根）求得 x∈[-2，-1）∪（3，4]．


（2）要证原式成立，即证-

c2-ab

＜a＜c＜

c2-ab

，即证|a-c|＜

c2-ab

，即证|a-c|2＜(

c2-ab

)2，
即证a²-2ac+c²＜c²-ab，即证a²+ab＞2ac，即证a+b＜2c，由题设，此式成立，
∴原命题成立．

点评：本题主要考查用穿根法解分式不等式和高次不等式，注意检验各根是否在解集内，以及用分析法证明不等式，
属于中档题．