Question

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，若bn=log₂a_n+1，则数列{b_n}的前n项和S_n=

n(n+3)

2

．

Answer 1

分析：先设等比数列{a_n}的公比为q，然后根据等差中项的性质可用a₁和q分别表示出a₂，a₃，a₄，建立方程组，求得a₁和q的值，则等比数列{a_n}的通项公式，从而求出b_n的表达式，进而求出等差数列的求和公式．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q，
依题意有2（a₃+2）=a₂+a₄，（1）
又a₂+a₃+a₄=28，将（1）代入得a₃=8．所以a₂+a₄=20．
于是有

a1q+a1q3=20 a1q2=8

解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

又{a_n}是递增的，故a₁=2，q=2．
所以a_n=2ⁿ，则b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1．
故 Sn=

n2+3n

2

．
故答案为：

n(n+3)

2

点评：本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的通项公式和前n项和，同时考查了计算能力，属于中档题．