Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁B₁上是否存在点E，使AE与DC₁成60°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD．
由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点．
又D为BC中点，所以OD为△A₁BC中位线，
所以A₁B∥OD，
因为OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．…（4分）
（Ⅱ）由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB₁两两垂直．
如图建立空间直角坐标系B-xyz．设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），D（1，0，0）．
所以

AD

=(1，-2，0)，

AC1

=(2，-2，1)
设平面ADC₁的法向量为

n

=（x，y，z），则有

n • AD =0 n • AC1 =0

所以

x-2y=0 2x-2y+z=0.

取y=1，得

n

=（2，1，-2）．
平面ADC的法向量为

v

=（0，0，1）．
由二面角C₁-AD-C是锐角，得cos＜

n

，

v

＞=

| n • v |

| n || v |

=

2

3

．…（8分）
所以二面角C₁-AD-C的余弦值为

2

3

．
（Ⅲ）假设存在满足条件的点E．
因为E在线段A₁B₁上，A₁（0，2，1），B₁（0，0，1），故可设E（0，λ，1），其中0≤λ≤2．
所以

AE

=(0，λ-2，1)，

DC1

=(1，0，1)．
因为AE与DC₁成60°角，所以|

AE • DC1

| AE || DC1 |

|=

1

2

．
即|

1

(λ-2)2+1 • 2

|=

1

2

，解得λ=1，舍去λ=3．
所以当点E为线段A₁B₁中点时，AE与DC₁成60°角．…（12分）