Question

6．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则下列大小关系正确的是（　　）

• A． f（e）＜f（3）＜f（2）
• B． f（e）＜f（2）＜f（3）
• C． f（2）＜f（3）＜f（e）
• D． f（3）＜f（2）＜f（e）

Answer 1

分析 由导数法可得函数的单调性，可得当x=e时，函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$取最小值$\frac{1}{e}$，再作差由对数的性质可得f（2）和f（3）的大小即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞e时，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＜0，函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$单调递减；
当0＜x＜e时，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＞0，函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$单调递增；
∴当x=e时，函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$取最大值$\frac{1}{e}$，
又f（2）=$\frac{ln2}{2}$=$\frac{3ln2}{6}$=$\frac{ln{2}^{3}}{6}$=$\frac{ln8}{6}$，
f（3）=$\frac{ln3}{3}$=$\frac{2ln3}{6}$=$\frac{ln{3}^{2}}{6}$=$\frac{ln9}{6}$＞$\frac{ln8}{6}$，
∴f（2）＜f（3）＜f（e），
故选：C．

点评 本题考查导数法比较大小，涉及作差法和对数的运算，属基础题．