Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\frac{2a-c}{b}$=$\frac{cosC}{cosB}$，b=4，则△ABC的面积的最大值为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知式子和正弦定理可得B=$\frac{π}{3}$，再由余弦定理可得ac≤16，由三角形的面积公式可得．

解答 解：∵在△ABC中$\frac{2a-c}{b}$=$\frac{cosC}{cosB}$，
∴（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
约掉sinA可得cosB=$\frac{1}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得16=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac，
∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤4$\sqrt{3}$
故选：A．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．