Question

【题目】已知全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2≤4x≤8}，C={x|a﹣4＜x≤2a﹣7}．
（1）求（UA）∩B；
（2）若A∩C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，

∴UA={x|x≤﹣1或x≥1}，

∵B={x|2≤4x≤8}={x|1≤2x≤3}={x| ≤x≤ }，

∴（UA）∩B={x|1≤x≤ }；

（2）解：由A∩C=C得，CA，且C={x|a﹣4＜x≤2a﹣7}，

①当C=时，a﹣4≥2a﹣7，解得a≤3；

②当C≠时，则 ，解得3＜a＜4，

综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，4）．

【解析】（1）由题意和补集的运算求出UA，由指数函数的性质求出B，由交集的运算求出（UA）∩B；（2）由A∩C=C得CA，对C分类讨论，由子集的定义分别列出不等式，求出实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的交集运算的相关知识，掌握交集的性质：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB，反之也成立，以及对交、并、补集的混合运算的理解，了解求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．