Question

（2006•嘉定区二模）如图，已知点F（1，0），点M在x轴上，点N在y轴上，且

NM

•

NF

=0，点R满足

NM

+

NR

=

0

．
（1）求动点R的轨迹C的方程；
（2）过点A（-1，0）作斜率为k的直线l交轨迹C于P、Q两点，且∠PFQ为钝角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出R点的坐标，把M和N的坐标用R的坐标表示，求出向量

NM

，

NF

的坐标，由数量积为0化简整理即可得到答案；
（2）设出直线l的方程，和（1）中的曲线方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出P，Q
两点的纵坐标的和与积，代入

FP

•

FQ

＜0的坐标表示列式求解直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：（1）由已知，N是MR的中点，设R（x，y），则M（-x，0），N(0，

y

2

)，
∴

NM

={-x，-

y

2

}，

NF

={1，-

y

2

}，
由

NM

•

NF

=0，得-x+

y2

4

=0，即y²=4x
∴动点R的轨迹方程为y²=4x；
（2）直线l的方程为y=k（x+1），由

y=k(x+1) y2=4x

，得ky²-4y+4k=0
△=16-16k²＞0，-1＜k＜1，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2=

4

k

，y₁y₂=4
由∠PFQ为钝角，可得

FP

•

FQ

＜0，

FP

={x1-1，y1}，

FQ

={x2-1，y2}，于是（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，
即(

y 2 1

4

-1)(

y 2 2

4

-1)+y1y2＜0，

(y1y2)2

16

-

y 2 1 + y 2 2

4

+1+y1y2＜0，
6-

( y   1 +y2)2-2y1y2

4

＜0，
6-

16 k2 -8

4

＜0，解得0＜k2＜

1

2

∴直线l的斜率k的取值范围是(-

2

2

，0)∪(0，

2

2

)．

点评：本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了利用平面向量数量积解决有关问题，训练了一元二次方程的根与系数的关系，是有一定难度题目．