Question

16．已知圆A：（x+1）²+y²=8，动圆M经过点B（1，0），且与圆A相切，O为坐标原点．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C相切于点M，且l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，求证：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{PQ}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，由此能求出动圆圆心M的轨迹C的标准方程．
（Ⅱ）设l：y=kx+b，将l的方程与椭圆C的方程的联立，化简得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，结合题意能证明$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{PQ}$为定值-1．

解答 解：（Ⅰ）设动圆M的半径为r，依题意，|MA|=2$\sqrt{2}$-r，|MB|=r，
∴|MA|+|MB|=2$\sqrt{2}$＞|AB|=2，
∴M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
∴动圆圆心M的轨迹C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．…（5分）
证明：（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l：y=kx+b，
将l的方程与椭圆C的方程的联立，化简得：
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
因为l与椭圆C相切于点M，设M（x₀，y₀），
所以△=8（1+2k²-b²）=0，即b²=1+2k²，
且2x₀=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{4kb}{{b}^{2}}$，解得x₀=-$\frac{2k}{b}$，y₀=-$\frac{2{k}^{2}}{b}$+b=$\frac{1}{b}$，
∴点M的坐标为（-$\frac{2k}{b}$，$\frac{1}{b}$），
又l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，
∴点P的坐标为（-$\frac{b}{k}$，0），点Q的坐标为（0，b），$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{b}{k}$，b），
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{PQ}$=（-$\frac{2k}{b}$，$\frac{1}{b}$）•（$\frac{b}{k}$，b）=-1．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{PQ}$为定值-1．…（12分）

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式、圆、椭圆等知识点的合理运用．