Question

如果函数y=|x|-1的图象与方程x²+λy²=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是

1. A.
   （-∞，-1]∪[0，1）
2. B.
   [-1，1）
3. C.
   {-1，0}
4. D.
   [-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

B
分析：利用绝对值的几何意义，由y=|x|-1可得，x≥0时，y=x-1；x＜0时，y=-x-1，确定函数y=|x|-1的图象与方程x²+λy²=1的曲线必相交于（±1，0），为了使函数y=|x|-1的图象与方程x²+λy²=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．y=x-1代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+λ）x²-2λx+λ-1=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得x＜0时的情形．
解答：由y=|x|-1可得，x≥0时，y=x-1；x＜0时，y=-x-1，
∴函数y=|x|-1的图象与方程x²+λy²=1的曲线必相交于（±1，0）
所以为了使函数y=|x|-1的图象与方程x²+λy²=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则
y=x-1代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+λ）x²-2λx+λ-1=0
当λ=-1时，x=1满足题意，
由于△＞0，1是方程的根，∴0，即-1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；
y=-x-1代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+λ）x²+2λx+λ-1=0
当λ=-1时，x=-1满足题意，
由于△＞0，-1是方程的根，∴0，即-1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；
综上知，实数λ的取值范围是[-1，1）
故选B．
点评：本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．