Question

已知函数f（x）=e^x，如果x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，下列关于f（x）的性质：
①（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；
②y=f（x）不存在反函数；
③f(x1)+f(x2)＜2f(

x1+x2

2

)；
④方程f（x）=x²在（0，+∞）上没有实数根，其中正确的是（　　）

• A、①②
• B、①④
• C、①③
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数的单调性判断①的正误；通过函数具有反函数的性质判断②的正误；利用函数的凹凸性判断③的正误；函数的零点判断④的正误．

解答：解：函数f（x）=e^x，函数是单调增函数，如果x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，
①（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；说明函数是增函数，满足题意，∴①正确；
②y=f（x）不存在反函数；函数有反函数函数必须是单调函数，∴②不正确；
③具有性质f(x1)+f(x2)＜2f(

x1+x2

2

)的函数是凸函数，而f（x）=e^{x_是凹函数}；∴③不正确；
④方程f（x）=x²，即e^x=x²，函数f（x）=e^x，g（x）=x²．在（0，+∞）上没有交点，就是说分没有实数根，∴④正确．
综上正确的结果为：①④．
故选：B．

点评：本题考查函数的基本性质的应用，函数的单调性、反函数函数的凹凸性以及函数的零点，基本知识考查．