【题目】已知数列满足:.
(1)若,求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,且试确定的值,使得数列为等差数列;
(3)将数列中的部分项按原来顺序构成新数列,且,求证:存在无数个满足条件的无穷等比数列.
【答案】(1);(2),数列为等差数列;
(3)详见解析
【解析】
(1)由,两边平方化简可得,则数列是以1为首项,以4为公差的等差数列,根据等差数列的通项公式即可求得,即可求得数列的通项公式;
(2)由(1)可得化简整理,得利用等差数列的通项公式可得:,即,当时,,化为,取即可得出;
(3)令等比数列的公比,则,设,可得,.因为为正整数,可得数列是数列中包含的无穷等比数列,进而证明结论.
解:(1),则,
数列是以1为首项,以4为公差的等差数列,则,
,
数列的通项公式;
(2)由(1)可得,
,,
,
数列是等差数列,首项为,公差为1.,
,
当时,,化为,
若数列为等差数列,则上式对于时也成立,
,解得.为等差数列.
,数列为等差数列;
(3)证明:由(1)可得.
令等比数列的公比,则,
设,因为,
所以,
,
因为为正整数,
所以数列是数列中包含的无穷等比数列,
因为公比有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,
故无穷等比数列有无数个.
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【题目】已知函数是定义在R上的奇函数,当时,.
(Ⅰ)求函数在R上的解析式;
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【题目】学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有( )
A. 6种 B. 24种 C. 30种 D. 36种
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【题目】设二次函数(,),关于的不等式的解集中有且只有一个元素.
(1)设数列的前项和(),求数列的通项公式;
(2)设(),则数列中是否存在不同的三项能组成等比数列?请说明理由.
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【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且经过点,直线交椭圆于不同的两点.
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(2)求的取值范围;
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【题目】学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2,上、下两边各空2 dm,左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?
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