Question

选修4-4：极坐标与参数方程
已知直线l经过点M₀（2，-3），倾斜角为

π

4

．以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标有程是ρ=2cosθ一4s1nθ．
（1）求直线l的参数方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求M₀到A，B两点的距离之和．

Answer 1

分析：（1）由已知条件根据参数方程的意义即可写出；
（2）先将曲线C的极坐标方程化为普通方程，再把直线的参数方程代入曲线C的方程，根据参数的几何意义即可得出．

解答：解：（1）∵直线l经过点M₀（2，-3），倾斜角为

π

4

，∴直线l的参数方程为

x=2+tsin π 4 y=-3+tcos π 4

即为

x=2+ 2 2 t y=-3+ 2 2 t

（t为参数）；
（2）由曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ-4sinθ，得ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，
化为直角坐标方程：x²+y²=2x-4y，
把直线l的参数方程代入上述圆的方程得(2+

2 t

2

)2+(-3+

2 t

2

)2=2×(2+

2 t

2

)-4×(-3+

2 t

2

)，
整理为t²-3=0，解得t=±

3

．
由参数t的几何意义可得：
|M₀A|+|M₀B|=|AB|=|t1-t2|=2

3

．

点评：熟练掌握直线的参数方程、极坐标方程与普通方程的互化公式，正确理解参数的几何意义是解题的关键．