Question

16．求函数y=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{1-x}$+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$的值域．

Answer 1

分析 由题意设$\sqrt{x+1}$=$\sqrt{2}$sina，$\sqrt{1-x}$=$\sqrt{2}$cosa，（0≤a≤$\frac{π}{2}$），从而可得故y=$\sqrt{2}$t+2t²-2=2（t+$\frac{\sqrt{2}}{4}$）²-$\frac{9}{4}$，从而解得．

解答 解：∵（$\sqrt{x+1}$）²+（$\sqrt{1-x}$）²=2，
∴设$\sqrt{x+1}$=$\sqrt{2}$sina，$\sqrt{1-x}$=$\sqrt{2}$cosa，（0≤a≤$\frac{π}{2}$），
则$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\sqrt{x+1}$•$\sqrt{1-x}$=2sinacosa，
则y=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{1-x}$+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$
=$\sqrt{2}$sina+$\sqrt{2}$cosa+4sinacosa
=$\sqrt{2}$（sina+cosa）+4sinacosa，
令sina+cosa=t（1$≤t≤\sqrt{2}$），则sinacosa=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
故y=$\sqrt{2}$t+2t²-2=2（t+$\frac{\sqrt{2}}{4}$）²-$\frac{9}{4}$，
∵1$≤t≤\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤2（t+$\frac{\sqrt{2}}{4}$）²-$\frac{9}{4}$≤4；
故函数y=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{1-x}$+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$的值域为[$\sqrt{2}$，4]．

点评 本题考查了换元法的应用及三角函数的应用，属于基础题．