Question

已知向量

a

=(

3

sinωx，cosωx)，

b

=(cosωx，cosωx)，ω＞0，记函数f（x）=

a

•

b

，
若函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）当0＜x≤

π

3

时，试求f（x）的值域；
（3）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）可利用向量的坐标运算公式结合正弦与余弦的二倍角公式求得f（x）=

a

•

b

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，由最小正周期为π即可求得ω的值；
（2）0＜x≤

π

3

⇒2x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

）⇒

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，f（x）的值域可求得；
（3）2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z⇒kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，令k取特值0，1即可求得f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωxcosωx+cos2ωx=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

…（3分）
∵ω＞0，∴T=

2π

2ω

=π，∴ω=1…（4分）
（2）由（1），f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
∵0＜x≤

π

3

，
∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴f（x）的值域为[1，

3

2

]…（8分）
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z…（10分）
又∵x∈[0，π]，∴0≤x≤

π

6

，或

2π

3

≤x≤π，
∴f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]…（12分）

点评：本题考查平面向量数量积的运算，正弦函数的定义域和值域及正弦函数的单调性，着重考查正弦函数的图象与性质的综合应用，属于中档题．