Question

定义在R上的函数，对任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，则称函数f（x）是R上的凸函数．已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（1）求证：当a＜0时，函数f（x）是凸函数；
（2）对任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用作差法证明，即要证：f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，只要证：f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥0；
（2）首先根据自变量的范围进行分离常数，然后问题就转化为函数求最值的问题，从而求出实数a的取值范围．

解答：（1）证明：f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]
=a(

x1+x2

2

)2+

x1+x2

2

-

1

2

(a

x

2 1

+x1+a

x

2 2

+x2)
=-a(

x1-x2

2

)2，
又a＜0，故f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，
所以当a＜0时，函数f（x）是凸函数，命题得证．----------（5分）
（2）解：∵对任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立．
∴a≥-(

1

x

)2-

1

x

在（0，1]上恒成立，
即a≥[-(

1

x

)2-

1

x

] max=2则a≥-2，------（8分）
又a≠0，故a≥-2且a≠0．----------（10分）

点评：本题主要考查了凸函数的证明，以及函数恒成立问题和二次函数的最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．