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已知二次函数f(x)的二次项系数为a(a<0),且f(x)=-2x的实数根为1和3,若函数y=(x)+6a只有一个零点,求f(x) 的解析式.
考点:函数解析式的求解及常用方法
专题:函数的性质及应用
分析:设f(x)=ax2+bx+c,由已知得ax2+bx+c=-2x的实数根为1和3,从而b=-2-4a,c=3a,由y=f(x)+6a只有一个零点,得:b2-4a(c+6a)=0,由此能求出f(x)=x2-6x+3.
解答: 解:设f(x)=ax2+bx+c,
∵二次函数f(x)的二次项系数为a(a<0),∴函数图象开口向下,
∵f(x)=-2x 的实数根为1和3,∴ax2+bx+c=-2x的实数根为1和3
整理上式:ax2+(b+2)x+c=0,
将两个实根代入得如下两式:
a+(b+2)+c=0
a•32+(b+2)•3+c=0

由上两式得:b=-2-4a,c=3a,
∵y=f(x)+6a只有一个零点,
∴函数y=ax2+bx+c+6a的顶点横坐标就是它唯一的0点横坐标,且△=0,
即:b2-4a(c+6a)=0,
将b=-2-4a,c=3a,代入得:5a2-4a+1=0,
解得a=-
1
5
或a=1(舍),
b=-2-4×(-
1
5
)=-
6
5
,c=3×(-
1
5
)=-
3
5

所以f(x)=-
1
5
x2-
6
5
x-
3
5
点评:本题二次函数的解析式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意二次函数的性质的合理运用.
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3
2
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2
,-
6
2
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14
2
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1
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