Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）若a=

2

，b=

3

，A=

π

4

，求边c的长；
（2）请探究：“A＞B?sinA＞sinB”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举反例说明．

Answer 1

分析：（1）先由由正弦定理通过 a=

2

，b=

3

，A=

π

4

，求出B，得到C，再利用正弦定理求出c的值．
（2）由正弦定理知 asinA=bsinB，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．

解答：解：（1）∵a=

2

，b=

3

，A=

π

4

，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinB=

3 × 2 2

2

=

3

2

，所以B=

π

3

，C=
又C=π-A-B=

5π

12

，
∴sinC=sin

5π

12

=sin（

π

4

+

π

6

）=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

2 + 6

4

．
再由正弦定理可得

2

sinA

=

c

sinC

，
解得c=5(

2

+

6

)．
（2）由正弦定理知

a

sinA

=

b

sinB

，
若sinA＞sinB成立，则a＞b，
所以A＞B．
反之，若A＞B成立，
则有a＞b，
∵a=2RsinA，b=2RsinB，
∴sinA＞sinB，
所以，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，同时考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．