Question

已知函数f（x）=log

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2

（x+1），当点P（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上移动时，点Q（

x0-t+1

2

，y₀）（t∈R）在函数y=g（x）的图象上移动．
（1）若点P坐标为（1，-1），点Q也在y=f（x）的图象上，求t的值；
（2）求函数y=g（x）的解析式；
（3）当t＞0时，试探求一个函数h（x）使得f（x）+g（x）+h（x）在限定定义域为[0，1）时有最小值而没有最大值．

Answer 1

分析：（1）写出Q点的坐标，代入f（x）的解析式中即可求出t
（2）设Q（x，y）为y=g（x）的图象上任意一点，由P和Q点的对应关系，可用x、y表达出P点的坐标，代入f（x）的解析式得到的x和y的关系即g（x）的表达式．
（3）因为f（x）和g（x）均为以

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为底的对数函数，故h（x）也选择以

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为底的对数函数，
由对数的运算法则使f（x）+g（x）+h（x）化为以

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为底的对数函数，在[0，1）上有意义且为减函数即可．

解答：解：（1）当点P坐标为（1，-1），点Q的坐标为(

1-t+1

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，-1)，
∵点Q也在y=f（x）的图象上，∴-1=log

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(-1+

t

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+1)，即t=0．
（根据函数y=f（x）的单调性求得t=0，请相应给分）
（2）设Q（x，y）在y=g（x）的图象上
则

x= x0-t+1 2 y=y0

，即

x0=2x+t-1 y0=y

而P（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，∴y0=log

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(x0  +1)
代入得，y=g(x)=log

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(2x+t)为所求．
（3）h(x)=log

1

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1-x

2x+t

；或h(x)=log

1

2

3 2 -x

2x+t

等．
如：当h(x)=log

1

2

1-x

2x+t

时，
f（x）+g（x）+h（x）=log

1

2

 (x+1)+log

1

2

(2x+t)+log

1

2

1-x

2x+t

=log

1

2

 (1-x2)
∵1-x²在[0，1）单调递减，∴0＜1-x²≤1故log

1

2

(1-x2)≥0，
即f（x）+g（x）+h（x）有最小值0，但没有最大值．

点评：本题考查轨迹法求函数的解析式、对数的运算法则、对数函数的性质问题，考查对开放问题的探求．