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1.三角形ABC中,a(cosB+cosC)=b+c,
(1)求证A=$\frac{π}{2}$
(2)若三角形ABC的外接圆半径为1,求三角形ABC周长的取值范围.

分析 (1)由余弦定理化简已知整理可得:(b+c)(a2-b2-c2)=0,由b+c>0,可得a2=b2+c2,即可解得A=$\frac{π}{2}$.
(2)利用正弦定理可得a=2,b+c=2$\sqrt{2}$sin(B+$\frac{π}{4}$),结合范围0$<B<\frac{π}{2}$,可得2<b+c$≤2\sqrt{2}$,从而可求三角形ABC周长的取值范围.

解答 解:(1)证明:∵a(cosB+cosC)=b+c,
∴由余弦定理可得:a$•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+a$•\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=b+c,
∴整理可得:(b+c)(a2-b2-c2)=0,
∵b+c>0,
∴a2=b2+c2
∴A=$\frac{π}{2}$,得证.
(2)∵三角形ABC的外接圆半径为1,A=$\frac{π}{2}$,
∴a=2,
∴b+c=2(sinB+cosB)=2$\sqrt{2}$sin(B+$\frac{π}{4}$),
∵0$<B<\frac{π}{2}$,$\frac{π}{4}$<B+$\frac{π}{4}$<$\frac{3π}{4}$,
∴2<b+c$≤2\sqrt{2}$,
∴4<a+b+c≤2$+2\sqrt{2}$,
∴三角形ABC周长的取值范围是:(4,2+2$\sqrt{2}$].

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了正弦定理,余弦定理,勾股定理,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

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