Question

14．设圆x²+y²+4x-32=0的圆心为A，直线l过点B（2，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹为曲线C₁，直线l交C₁于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；
（2）分类讨论，设直线l代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ方程，求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：（1）因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，
所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，
又圆A的标准方程为（x+2）²+y²=36，从而|AD|=6，所以|EA|+|EB|=6，
由题设得A（-2，0），B（2，0），|AB|=4＜|EA|+|EB|，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≠0）．
（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k（x-2）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由直线与椭圆方程，联立得（9k²+5）x²-36k²x+36k²-45=0，
则x₁+x₂=$\frac{36{k}^{2}}{9{k}^{2}+5}$，x₁x₂=$\frac{36{k}^{2}-45}{9{k}^{2}+5}$，
所以|MN|=$\frac{30（{k}^{2}+1）}{9{k}^{2}+5}$
过点B（2，0）且与l垂直的直线m：y=-$\frac{1}{k}$（x-2），点A到m的距离为$\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
所以|PQ|=2$\sqrt{36-\frac{16}{{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{\frac{9{k}^{2}+5}{{k}^{2}+1}}$，
故四边形MPNQ的面积S=$\frac{1}{2}$|MN||PQ|=20$\sqrt{1+\frac{1}{9{k}^{2}+5}}$．
可得当l与x轴不垂直时，由k≠0，得四边形MPNQ面积的取值范围为（20，12$\sqrt{5}$）．
当l与x轴垂直时，其方程为x=2，四边形MPNQ的面积为20．
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[20，12$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．