Question

已知函数f(x)=lg

kx-1

x-1

．（k∈R且k＞0）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在[10，+∞）上单调递增，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据真数大于零列出不等式，由k＞0分三种情况分别求出函数的定义域，并用集合或区间表示；
（2）用分离常数法对真数对应的函数进行化简，由题意和复合函数的单调性，确定k的范围，注意单调区间一定是函数定义域的子集．

解答：解：（1）由题意得，

kx-1

x-1

＞0，即（x-1）（kx-1）＞0，
∵k＞0，∴应分三种情况求解：
当0＜k＜1时，定义域为(-∞，1)∪(

1

k

，+∞)，
当k=1时，定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）
当k＞1时，定义域为(-∞，

1

k

)∪(1，+∞)；
（2）令y=

kx-1

x-1

=k+

k-1

x-1

，
∵函数y=lgx在定义域上单调递增，且f（x）在[10，+∞）上单调递增，
∴函数y=

kx-1

x-1

在[10，+∞）上单调递增，∴k-1＜0，解得k＜1，
∵当0＜k＜1时，函数的定义域是(-∞，1)∪(

1

k

，+∞)，
∴

1

k

＜10，即k＞

1

10

，
∴k∈(

1

10

，1)．

点评：本题的考点是对数函数的性质的应用，利用对数的真数大于零，复合函数的单调性“同增异减”法则，还有单调区间与定义域的关系，这是易错的地方考查了，主要用了分类讨论思想．