Question

5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递减区间；
（3）若g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$ωkx+$\frac{π}{2}$）的一个对称中心是（$\frac{3π}{4}$，0）．且g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，求正实数k的取值．

Answer 1

分析 （1）由图知A=2，T=2（$\frac{3π}{8}$+$\frac{π}{8}$）=π，可求ω的值，利用第一点向左平移量，可求φ的值，从而可得函数的解析式；
（2）结合正弦函数的单调性，可得函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递减区间；
（3）结合（1）中ω的值及g（x）的一个对称中心是（$\frac{3π}{4}$，0）．且g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，可得正实数k的值．

解答 解：（1）由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得：
函数的最大值为2，最小值-2，故A=2，
函数的周期T=2（$\frac{3π}{8}$+$\frac{π}{8}$）=π，故ω=2，
由第一点向左平移量L=$\frac{π}{8}$，可得：φ=Lω=$\frac{π}{4}$，
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）；
（2）由2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，k∈Z，
即函数f（x）的单调递减区间为：[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，k∈Z，
又∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]，
即函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递减区间为[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]；
（3）∵g（x）=2sin（kx+$\frac{π}{2}$）=2coskx的一个对称中心是（$\frac{3π}{4}$，0）．
∴cos$\frac{3kπ}{4}$=0，即$\frac{3kπ}{4}$=$\frac{π}{2}$+nπ，n∈Z，则k=$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$n，n∈Z，
又∵g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，
∴$\frac{kπ}{2}$≤π，
∴k≤2，
故当n=1时，k=2满足要求．

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，难度中档．