Question

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₃=7，且a₁，a₂，a₃-1成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₄a_2n+1，n=1，2，3…，求和：

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bn-1bn

．

Answer 1

分析：（1）由已知得：

a1+a2+a3=7 a1+a3-1=2a2

，设数列{a_n}的公比为q，把等比数列的通项公式代入，求出q=2，a₁=1，由此得到数列 {a_n}的通项公式．
（2）先求出 b_n=log₄ 4ⁿ=n，要求的式子即

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

，用裂项法求出它的值．

解答：解：（1）由已知得：

a1+a2+a3=7 a1+a3-1=2a2

，解得 a₂=2．（2分）
设数列{a_n}的公比为q，由 a₂=2，可得 a₁=

2

q

，a₃=2q，
又S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，即 2q²-5q=2=0，解得 q=2，或q=

1

2

．（4分）
由题意得 q＞1，∴q=2，a₁=1，
故数列 {a_n}的通项公式为 a_n=2^n-1．（6分）
（2）由（1）得 a_2n+1=2²ⁿ=4ⁿ，由于 b_n=log₄ a_2n+1，∴b_n=log₄ 4ⁿ=n．（8分）

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bn-1bn

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

．（12分）

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的定义和性质，用裂项法进行数列求和，属于中档题．