Question

已知函数f(x)=2asinωxcosωx+2

3

cos2ωx-

3

(a＞0，ω＞0)的最大值为2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（I）求a，ω的值；
（II）若f（a）=

2

3

，求sin(

5π

6

-4α)的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=asin（2ωx+

π

3

），由题意可得函数的最小正周期为

2π

2ω

=π，求出ω=1，再由函数的最大值求出a的值．
（II）由f（a）=

2

3

求得sin（2α+

π

3

）=

1

3

，根据 sin(

5π

6

-4α)=sin[

3π

2

-（4α+

2π

3

）]=-cos（4α+

2π

3

），再利用二倍角公式求出结果．

解答：解：（I）∵函数 f(x)=2asinωxcosωx+2

3

cos2ωx-

3

=asin2ωx+

3

cos2ωx=asin（2ωx+

π

3

）．
由题意可得，函数的最小正周期为

2π

2ω

=π，∴ω=1．
再由a＞0且函数的最大值为2可得 a=1，故 f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
（II）若f（a）=

2

3

，则2sin（2α+

π

3

）=

2

3

，sin（2α+

π

3

）=

1

3

，
∴sin(

5π

6

-4α)=sin[

3π

2

-（4α+

2π

3

）]=-cos（4α+

2π

3

）=-1+2sin2(2α+

π

3

)=-1+2×

1

9

=-

7

9

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．