Question

【题目】在(2x-3y)10的展开式中,求:

(1)各项的二项式系数的和;

(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和;

(3)各项系数之和;

(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和.

Answer 1

【答案】（1）1024；（2）512 ，512 ；（3）1；（4）见解析

【解析】

（1）根据二项式系数的性质求解；

（2）可采用赋值法，根据二项式定理，求得奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和，也可直接应用二项式系数的这部分性质，写出答案；

(3)采用赋值法，令x=y=1，求得各项系数之和;

（4）采用赋值法，令x=1,y=-1，结合（3），可分别求得奇数项系数的和与偶数项系数的和.

(1)各项的二项式系数的和为 ;

(2)奇数项的二项式系数的和为

偶数项的二项式系数的和为

(3)设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10 (*),各项系数之和即为a0+a1+a2+…+a10,

由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求解.

令(*)中x=y=1,得各项系数之和为(2-3)10=(-1)10=1.

(4)奇数项系数的和为a0+a2+a4+…+a10,偶数项系数的和为a1+a3+a5+…+a9.

由(3)知a0+a1+a2+…+a10=1. ①

令(*)中x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=510. ②

①+②,得2(a0+a2+…+a10)=1+510,故奇数项系数的和为 ;

①-②,得2(a1+a3+…+a9)=1-510,故偶数项系数的和为.