Question

已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（3，0）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）求若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且＞2(其中O为原点)，求k的取值范围；

（3）已知点M(,0),在（2）的条件下，求M到直线l的距离d的取值范围.

Answer 1

思路分析：对于（1），可先设双曲线C的方程，再由题意求出a,b的值；对于（2），为直线与双曲线的交点问题，联立方程，解方程组即可；（3）为点到直线的距离问题，代入点到直线的距离公式求解即可.

解：（1）设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)，由已知得a=,c=2.

∴b=1.故所求双曲线的方程为=1，即=1.

（2）将y=kx+代入=1，可得(1-3k²)x²--9=0.

由直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点，得

故k²≠且k²＜1.                                ①

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=,x₁x₂=.

由＞2，得x₁x₂+y₁y₂＞2.

而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+)(kx₂+)=(k²+1)x₁x₂+(x₁+x₂)+2=(k²+1)·+·+2=,

∴＞2.

解此不等式,得.                       ②

由①②,得.故k的取值范围是(-1,)∪(,1).

（3）点M到直线l的距离为d=.

∴d²==,k∈(-1,)∪(,1)

设f(k)=,k∈(-1,)∪(,1),

则f′(k)=. ∵,∴f′(k)＞0.

∴f(k)在区间(-1,)∪(,1)上均为增函数.

当k∈(-1,)时，f(-1)＜f(k)＜f()，

即.此时；

当k∈(,1)时，f()＜f(k)＜f(1)，

即.此时.

综上所得M到直线l的距离d的取值范围是(0,)∪(,2).