Question

已知等边三角形OAB的边长为8

3

（点O为坐标原点），且三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上．
（I）求抛物线E的方程以及焦点的坐标；
（II）若直线l₁与抛物线E相切于点A（x_A＜0），直线l₂与抛物线E相切于点B（x_B＞0），试求直线l₁，l₂的方程以及这两条直线的交点坐标．

Answer 1

分析：（I）由题设知|OA|=8

3

，BC边和y轴的夹角为30°，设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4

3

，y=|OB|cos30°=12，由B（4

3

，12）在x²=2py上，知(4

3

)2=2p×12，由此能求出抛物线方程．
（II）由（I）知A（-4

3

，12），B（4

3

，12），且y=

1

4

x2，所以y′=

1

2

x，由导数的几何意义能求出直线l₁，l₂的方程以及这两条直线的交点坐标．

解答：解：（I）∵等边三角形OAB的边长为8

3

（点O为坐标原点），
且三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上，
∴|OA|=8

3

，BC边和y轴的夹角为30°，
设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4

3

，y=|OB|cos30°=12，
∵B（4

3

，12）在x²=2py上，∴(4

3

)2=2p×12，
∴p=2．
∴抛物线方程为x²=4y．
（II）由（I）知A（-4

3

，12），B（4

3

，12），且y=

1

4

x2，
∴y′=

1

2

x，
∴k_A=

1

2

×(-4

3

)=-2

3

，
∴直线l₁的方程为y-12=-2

3

（x+4

3

），即2

3

x+y+12=0．
kB=

1

2

×4

3

=2

3

，
∴直线l₂的方程为y-12=2

3

（x-4

3

），即2

3

x-y-12=0．
解方程组

2 3 x+y+12=0 2 3 x-y-12=0

，得x=0，y=-12．
∴直线l₁，l₂的交点坐标为（0，-12）．

点评：本题考查抛物线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的合理运用．