Question

观察下列等式：
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
…

1³=1
1³+2³=9
1³+2³+3³=36
1³+2³+3³+4³=100
1³+2³+3³+4³+5³=225
…
可以推测：1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n²（n+1）²

（n∈N₊，用含有n的代数式表示）．

Answer 1

分析：由1，9，36，100，225，…可以归纳出以下规律：以上数字皆是平方数；再利用等差数列的前n项和公式即可猜想归纳出结论．

解答：解：由1，9，36，100，225，…可以归纳出以下规律：以上数字皆是平方数，即分别是1²，3²，6²，10²，15²，…
再由下列等式：1=1，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+2+3+4+5=15，…
可以由等差数列的前n项和公式得到以下结论：1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
于是可以推测：1³+2³+3³+…+n³=[

n(n+1)

2

]2=

1

4

n2(n+1)2，n∈N⁺．

点评：本题考查了归纳推理，善于观察、分析、猜想、推测、归纳能力及利用所学的知识是解决问题的关键．